CALCULO VECTORIAL

¿QUE ES ?

El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.


1.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES


Se llame magnitudes escalares a aquellas que quedan determinadas únicamente por su valor numérico. Son magnitudes escalares, por ejemplo: la temperatura, la masa de un cuerpo, el volumen, etc.


Para definir otras magnitudes, además es necesario precisar otras características, como su dirección y sus sentido. Esta clase de magnitudes se llaman vectoriales y se representan gráficamente por medio de vectores. Ejemplos de magnitudes vectoriales serían la velocidad, la aceleración, o la fuerza.


1.1.1 DEFINICIÓN DE VECTOR:


Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por cuatro elementos diferenciadores, que son:


--Punto de aplicación u origen.


--Dirección o línea de acción, que es la recta que contiene al vector.


--Sentido del vector.


--Módulo del vector, que es su longitud.


Clasificaremos los vectores en libres, deslizantes, fijos y axiales.


*Vectores libres. Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, tomamos como base de este sistema la base canónica, formada por los vectores y, j y k, perpendiculares entre sí y unitarios.


Los vectores libres pueden trasladar su origen a cualquier punto del espacio manteniendo el módulo y el sentido constantes y su dirección paralela.



Son ejemplos de vectores libres el momento de una fuerza o el vector que representa la fuerza que ejerce el viento sobre una cierta superficie.


*Vectores deslizantes. Pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Un ejemplo sería la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido.


*Vectores fijos. Para determinarlos es necesario conocer sus cuatro elementos característicos; vienen dados pues por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Como ejemplo se puede citar la velocidad de una partícula móvil o la fuerza aplicada en un punto.


*Vectores axiales. Son vectores que representan una magnitud angular. El módulo del vector indica el valor numérico de esa magnitud, la dirección del vector señala el eje de rotación, y el sentido del vector se hace corresponder con el sentido de giro a través de un convenio que se expresa mediante la regla de Maxwell: el sentido de la rotación es el sentido de giro de un sacacorchos cuando este avanza en el sentido que indica el vector. La velocidad angular de una partícula sometida a movimiento circular es un ejemplo de vector axial.


Otras definiciones de vectores son las siguientes:


1.-Vectores equipolentes son aquellos vectores libres que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.


2.- Los vectores de cualquier clase que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios se llaman vectores opuestos.













EJEMPLO




Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales.




SOLUCION






El enunciado del teorema del coseno dice que en todo triángulo se verifica que la longitud de uno de sus lados es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (o menos) dos veces el producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.








Matemáticamente este enunciado se expresa:










a=b2+c2±2bc⋅cosÂ−−−−−−−−−−−−−−−√





por lo que la razón del problema es demostrar la anterior expresión.Considerando el triángulo de la figura adjunta, podemos orientar sus lados de tal manera que se cumpla:







b⃗ +c⃗ =a⃗





de acuerdo con la definición de suma de vectores.




Si desarrollamos el producto escalar del vector a⃗ por si mismo considerando los dos miembros, tenemos :


a⃗ ⋅a⃗ (b⃗ +c⃗ )⋅(b⃗ +c⃗ )==a2b2+c2+2⋅b⃗ ⋅c⃗ =b2+c2+2⋅cos(b,c)


Igualando ambas expresiones nos queda :







a2=b2+c2+2⋅cos(b,c)





Observando la figura vemos que el ángulo formado por los lados b y c es el denotado por Â. Además, el signo positivo o negativo se refiere a un ángulo agudo u obtuso. Por todo ello:







a2=b2+c2+2⋅cosÂ





Y sacando raices cuadradas :







a=b2+c2±2bc⋅cosÂ−−−−−−−−−−−−−−−√





como queríamos demostrar.